随机变量 $X$ 被称为服从带参数 $\alpha,\beta$(都是正的), 以及参数 $A$ 和 $B$ 的 $\beta$-分布(beta distribution), 如果其 pdf (概率密度函数)定义为

\[
f(x;\alpha,\beta,A,B)=\begin{cases}
\frac{1}{B-A}\cdot\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\cdot\Gamma(\beta)}\biggl(\frac{x-A}{B-A}\biggr)^{\alpha-1}\biggl(\frac{B-x}{B-A}\biggr)^{\beta-1}, & x\in[A,B]\\
0, & \text{其他}
\end{cases}
\]

特别的, 当 $A=0$, $B=1$ 时, 该分布称为标准 $\beta$-分布 (standard beta distribution).

首先, 可以证明, 这样定义的 pdf 是合理的, 即

\[
\int_{A}^{B}f(x;\alpha,\beta,A,B)dx=1.
\]

其次, 可以计算服从 $\beta$-分布的随机变量 $X$, 其均值和方差为:

\[
\mu=A+(B-A)\cdot\frac{\alpha}{\alpha+\beta},\qquad\sigma^2=\frac{(B-A)^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}
\]